Понятие двоичной системы - Представление численной информации в ЭВМ. Системы счисления

Только полноправные пользователи могут оставлять комментарии. TM Feed Хабрахабр Geektimes Тостер Мой круг Фрилансим. Хабрахабр Публикации Пользователи Хабы Компании Песочница. Изучая кодировки, я понял, что недостаточно хорошо понимаю системы счислений.

Прочитав множество публикаций, я был удивлен отсутствием единой, написанной простым языком, статьи по столь базовому материалу. Именно поэтому решил написать свою, в которой постарался доступно и по порядку изложить основы систем счисления.

Введение Система счисления — это способ записи представления чисел. Что под этим подразумевается? Например, вы видите перед собой несколько деревьев. Ваша задача — их посчитать. В первом случае число представляется, как строка из загнутых пальцев или зарубок, во втором — композиция камней и палочек, где слева — камни, а справа — палочки Системы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные, а позиционные, в свою очередь, — на однородные и смешанные.

Непозиционная — самая древняя, в ней каждая цифра числа имеет величину, не зависящую от её позиции разряда. То есть, если у вас 5 черточек — то число тоже равно 5, поскольку каждой черточке, независимо от её места в строке, соответствует всего 1 один предмет. Позиционная система — значение каждой цифры зависит от её позиции разряда в числе. Например, привычная для нас я система счисления — позиционная. Цифра 4 обозначает количество сотен и соответствует числу , 5 — кол-во десяток и аналогично значению 50, а 3 — единиц и значению 3.

Как видим — чем больше разряд — тем значение выше. Однородная система — для всех разрядов позиций числа набор допустимых символов цифр одинаков. В качестве примера возьмем упоминавшуюся ранее ю систему. При записи числа в однородной й системе вы можете использовать в каждом разряде исключительно одну цифру от 0 до 9, таким образом, допускается число 1-й разряд — 0, 2-й — 5, 3-й — 4 , а 4F5 — нет, поскольку символ F не входит в набор цифр от 0 до 9. Смешанная система — в каждом разряде позиции числа набор допустимых символов цифр может отличаться от наборов других разрядов.

Яркий пример — система измерения времени. Непозиционные системы Как только люди научились считать — возникла потребность записи чисел. В начале все было просто — зарубка или черточка на какой-нибудь поверхности соответствовала одному предмету, например, одному фрукту. Так появилась первая система счисления — единичная.

Единичная система счисления Число в этой системе счисления представляет собой строку из черточек палочек , количество которых равно значению данного числа. Таким образом, урожай из фиников будет равен числу, состоящему из черточек.

Но эта система обладает явными неудобствами — чем больше число — тем длиннее строка из палочек. Помимо этого, можно легко ошибиться при записи числа, добавив случайно лишнюю палочку или, наоборот, не дописав. Для удобства, люди стали группировать палочки по 3, 5, 10 штук. При этом, каждой группе соответствовал определенный знак или предмет. Изначально для подсчета использовались пальцы рук, поэтому первые знаки появились для групп из 5 и 10 штук единиц.

Все это позволило создать более удобные системы записи чисел. Древнеегипетская десятичная система В Древнем Египте использовались специальные символы цифры для обозначения чисел 1, 10, 10 2 , 10 3 , 10 4 , 10 5 , 10 6 , 10 7. Вот некоторые из них: Почему она называется десятичной? Как писалось выше — люди стали группировать символы. В данном случае, число 10 называется основанием десятичной системы счисления, а каждый символ — представление числа 10 в какой-то степени. Числа в древнеегипетской системе счисления записывались, как комбинация этих символов, каждый из которых повторялся не более девяти раз.

Итоговое значение равнялось сумме элементов числа. Стоит отметить, что такой способ получения значения свойственен каждой непозиционной системе счисления. Примером может служить число Вавилонская шестидесятеричная система В отличии от египетской, в вавилонской системе использовалось всего 2 символа: Чтобы определить значение числа необходимо изображение числа разбить на разряды справа налево. Новый разряд начинается с появления прямого клина после лежачего.

В качестве примера возьмем число Поэтому вавилонская система счисления получила название шестидесятеричной. Все числа от 1 до 59 вавилоняне записывали в десятичной непозиционной системе, а большие значения — в позиционной с основанием Запись числа была неоднозначной, поскольку не существовало цифры обозначающей ноль.

Для определения абсолютного значения числа был введен специальный символ для обозначения пропущенного шестидесятеричного разряда, что соответствует появлению цифры 0 в записи десятичного числа: Теперь число следует записывать, как: Шестидесятеричная вавилонская система — первая система счисления, частично основанная на позиционном принципе.

Данная система счисления используется и сегодня, например, при определении времени — час состоит из 60 минут, а минута из 60 секунд. Римская система Римская система не сильно отличается от египетской.

В ней для обозначения чисел 1, 5, 10, 50, , и используются заглавные латинские буквы I, V, X, L, C, D и M соответственно. Число в римской системе счисления — это набор стоящих подряд цифр.

Методы определения значения числа: Значение числа равно сумме значений его цифр. При этом, левая цифра может быть меньше правой максимум на один порядок: Значение равно сумме значений групп и цифр, не подходящих под 1 и 2 пункты. Помимо цифирных, существуют и буквенные алфавитные системы счисления, вот некоторые из них: В Индии система приняла форму позиционной десятичной нумерации с применением нуля, а у индусов эту систему чисел заимствовали арабы, от которых её переняли европейцы.

Десятичная система счисления Это одна из самых распространенных систем счисления. Именно её мы используем, когда называем цену товара и произносим номер автобуса. В каждом разряде позиции может использоваться только одна цифра из диапазона от 0 до 9. Основанием системы является число Для примера возьмем число Чтобы избежать путаницы при одновременной работе с несколькими системами счисления основание указывается в качестве нижнего индекса.

Помимо десятичной системы, отдельного внимания заслуживают 2-, 8-, ая системы. Двоичная система счисления Эта система, в основном, используется в вычислительной технике. Почему не стали использовать привычную нам ю? Первую вычислительную машину создал Блез Паскаль, использовавший в ней десятичную систему, которая оказалась неудобной в современных электронных машинах, поскольку требовалось производство устройств, способных работать в 10 состояниях, что увеличивало их цену и итоговые размеры машины.

Этих недостатков лишены элементы, работающие в 2-ой системе. Двоичная позиционная система счисления имеет основание 2 и использует для записи числа 2 символа цифры: В каждом разряде допустима только одна цифра — либо 0, либо 1. Оно аналогично числу 5 в десятичной системе счисления. Хорошо, для машин 2-я система счисления удобнее, но мы ведь часто видим, используем на компьютере числа в й системе.

Как же тогда машина определяет какую цифру вводит пользователь? Как переводит число из одной системы в другую, ведь в её распоряжении всего 2 символа — 0 и 1? Чтобы компьютер мог работать с двоичными числами кодами , необходимо чтобы они где-то хранились.

Для хранения каждой отдельной цифры применяется триггер, представляющий собой электронную схему. Он может находится в 2-х состояниях, одно из которых соответствует нулю, другое — единице. Для запоминания отдельного числа используется регистр — группа триггеров, число которых соответствует количеству разрядов в двоичном числе.

А совокупность регистров — это оперативная память. Число, содержащееся в регистре — машинное слово. Арифметические и логические операции со словами осуществляет арифметико-логическое устройство АЛУ. Для упрощения доступа к регистрам их нумеруют.

Номер называется адресом регистра. Например, если необходимо сложить 2 числа — достаточно указать номера ячеек регистров , в которых они находятся, а не сами числа. Адреса записываются в 8- и ричной системах о них будет рассказано ниже , поскольку переход от них к двоичной системе и обратно осуществляется достаточно просто.

Для перевода из 2-й в 8-ю число необходимо разбить на группы по 3 разряда справа налево, а для перехода к ой — по 4. Если в крайней левой группе цифр не достает разрядов, то они заполняются слева нулями, которые называются ведущими.

В качестве примера возьмем число 2. Отлично, но почему на экране мы видим десятичные числа и буквы? При нажатии на клавишу в компьютер передаётся определённая последовательность электрических импульсов, причём каждому символу соответствует своя последовательность электрических импульсов нулей и единиц. Программа драйвер клавиатуры и экрана обращается к кодовой таблице символов например, Unicode, позволяющая закодировать символов , определяет какому символу соответствует полученный код и отображает его на экране.

Таким образом, тексты и числа хранятся в памяти компьютера в двоичном коде, а программным способом преобразуются в изображения на экране. Восьмеричная система счисления 8-я система счисления, как и двоичная, часто применяется в цифровой технике. Имеет основание 8 и использует для записи числа цифры от 0 до 7. Для перевода в ю систему необходимо каждый разряд исходного числа умножить на 8 n , где n — это номер разряда. Шестнадцатеричная система счисления Шестнадцатеричная система широко используется в современных компьютерах, например при помощи неё указывается цвет: FFFFFF — белый цвет.

Рассматриваемая система имеет основание 16 и использует для записи числа: C, D, E, F, где буквы равны 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно. В качестве примера возьмем число 4F5 Для перевода в восьмеричную систему — сначала преобразуем шестнадцатеричное число в двоичное, а затем, разбив на группы по 3 разряда, в восьмеричное. Чтобы преобразовать число в 2-е необходимо каждую цифру представить в виде 4-х разрядного двоичного числа.

Но в 1 и 3 группах не достает разряда, поэтому заполним каждый ведущими нулями: Теперь необходимо разделить полученное число на группы по 3 цифры справа налево: Переведем каждую двоичную группу в восьмеричную систему, умножив каждый разряд на 2 n , где n — номер разряда: Помимо рассмотренных позиционных систем счисления, существуют и другие, например: Однородные позиционные системы счисления Определение, данное в начале статьи, достаточно полно описывает однородные системы, поэтому уточнение — излишне.

Смешанные системы счисления К уже приведенному определению можно добавить теорему: Для перевода из Q-й в P-ю, необходимо число в Q-й системе, разбить на группы по n цифр, начиная с правой цифры, и каждую группу заменить одной цифрой в P-й системе. Для перевода из P-й в Q-ю, необходимо каждую цифру числа в P-й системе перевести в Q-ю и заполнить недостающие разряды ведущими нулями, за исключением левого, так, чтобы каждое число в системе с основанием Q состояло из n цифр.

Яркий пример — перевод из двоичной системы счисления в восьмеричную. Возьмем двоичное число 2 , для перевода в восьмеричное — разобьем его справа налево на группы по 3 цифры: Для однозначности изображения двоично-восьмеричного числа его разбивают на тройки: Смешанными системами счисления также являются, например: Преобразование в десятичную систему счисления Имеется число a 1 a 2 a 3 в системе счисления с основанием b.

Для перевода в ю систему необходимо каждый разряд числа умножить на b n , где n — номер разряда. Последовательно делим целую часть десятичного числа на основание системы, в которую переводим, пока десятичное число не станет равно нулю.

Полученные при делении остатки являются цифрами искомого числа. Число в новой системе записывают, начиная с последнего остатка. Дробную часть десятичного числа умножаем на основание системы, в которую требуется перевести. Продолжаем умножать дробную часть на основание новой системы, пока она не станет равной 0. Число в новой системе составляют целые части результатов умножения в порядке, соответствующем их получению.

Преобразование из двоичной в восьмеричную и шестнадцатеричную системы Для перевода в восьмеричную — разбиваем двоичное число на группы по 3 цифры справа налево, а недостающие крайние разряды заполняем ведущими нулями.

Далее преобразуем каждую группу, умножая последовательно разряды на 2 n , где n — номер разряда. В качестве примера возьмем число 2: Преобразование из восьмеричной и шестнадцатеричной систем в двоичную Перевод из восьмеричной в двоичную — преобразуем каждый разряд восьмеричного числа в двоичное 3-х разрядное число делением на 2 более подробно о делении см. Для примера рассмотрим число 45 8: Если в результате умножения будут снова появляться целые части, их нужно повторно обращать в ноль, предварительно запомнив записав значение получившейся целой части.

Операция заканчивается, когда дробная часть полностью обратится в нуль. Для примера переведем 10, 10 в двоичную систему: Системы счисления , двоичная , десятичная , восьмеричная , шестнадцатеричная.

§4. Системы счисления. Двоичная система. (Лекция 3)

Информационная безопасность 2,4k авторов , 6,4k публикаций. Open source 1k авторов , 2,3k публикаций. Высокая производительность авторов , 1,2k публикаций. Программирование 2,9k авторов , 6,5k публикаций. Разработка под Linux авторов , публикация. Разработка систем передачи данных 62 автора , публикаций. Тестирование веб-сервисов автор , публикаций.

Алгоритмы 1,3k авторов , 2,3k публикаций. Анализ и проектирование систем авторов , публикации. Системное программирование авторов , публикации. Добавить в закладки У нас это было в 9 классе на математике. Тут же про числа только. Странная у вас математика была. Мы как-то больше арабскими числами в школе оперировали.

Если не считать параграф введения в историю математики и некоторые олимпиадные задачи. У нас весь лицей странным был да и остаётся , но я не нахожу странным изучать математику на уроках математики. Мы тоже арабскими и в десятичной системе больше, однако это не мешало рассказывать и про другие системы. А на информатике мы занимались информатикой, точнее, программированием. Перезалейте картинки, пожалуйста, вы мне всю ностальгию испортили. Видимо, потому и закрепилась арабской.

Им не было дела до того, у кого переняли систему арабы. Может не то чтобы не было дела, а просто не знали что арабы позаимствовали у индусов. Помимо излишнего проявления ума бывает и правильное понимание написанного. Не думаю, что среди целевой аудитории могут быть настолько недалекие люди, которые могут подумать, что, например, пятиричная система счисления невозможна.

Но вы таки правы, ваш вариант конкретнее звучит. Ждем статью про нега-позиционные системы счисления и перевод чисел из них в позиционные системы счисления: Статья просто отличная, большое спасибо!

Число в смешанной системе счисление не обязательно набор из цифр разных систем. В конце главы про смешанные системы я добавил представление числа в системе: Оно является и восьмеричным и 2-м. Различие — в отображение чисел, так как мы могли просто написать , являющееся двоичным. Если бы мы рассматривали 2 , то в й системе оно имело бы вид: Я указал только основные, поскольку если рассматривать остальные — статья получится крайне большой. Быть может, но упоминать непозиционные системы счисления, как мне кажется, стоит лишь с целью рассказать про систему остаточных классов.

Иначе это детский сад. По-моему у Кнута это всё написано гораздо лаконичнее и интереснее. И всякие прелести типа уравновешенной троичной системы есть. Ещё любопытная штука, когда основание системы счисления отрицательное. У нас контрольные по этой муре когда-то были… Но не увидел самого интересного и полезного.

Почему перешли с восьмеричной на шестнадцатеричную систему? Число получается короче, что стало важно с увеличением объёмов памяти ЭВМ. После внедренная шестнадцатеричной системы, восьмеричная практически перестала использоваться. Почему применяли именно восьмеричную и шестнадцатеричную системы? Во-первых, запись числа получается компактнее, а перевод в двоичную используемую в ЭВМ очень простой.

Во-вторых, основания 8 и 16 близки к привычной нам десятичной системе. Нет примера перевода из восьмеричной в шестнадцатеричную и наоборот. Хотя это очевидно, но всё-таки. Пример есть, правда из ой в 8-ю — сделайте, пожалуйста, поиск по странице: Причина, по которой не выделил этот перевод в отдельную главу — размер статьи.

Учитывая, что я приводил ранее пример преобразования из шестнадцатеричной в восьмеричную, рассмотрел перевод из 2-ой в 8-ю, из 2-ой в ю и обратно, я посчитал, что лучше опустить этот пункт. В таком случае, слишком ного переводов из двоичной и в двоичную. Прикладной пользы от этого сейчас нет, по моему скромному мнению. Заметка понравилась, я не критикую, просто хотелось дополнить. Набор простых безымянных регистров это обычно оперативная память.

Регистры, кстати, не обязаны принадлежать процессору и могут располагаться во внешнем устройстве и отображаться в память или быть доступны через порты для x86 или иным способом. Пожалуйста, еще про схему Горнера напишите в вопросе перевода систем. Я дал основы, которые помогут вам при более детальном изучении этой темы. В добавок, удовлетворив вашу просьбу, я буду вынужден выполнить и все остальные. А если у нас система счисления тиричная Z как например перевести 1Ax в десятичную и наоборот???

Перевод из й в ю: Считаю, что незаслуженно обошли вниманием гибридную 20рично-5ричную систему счисления Майя. ИМХО, она гораздо нагляднее вавилонской, и без грязных хаков, и с нулём. Считали большим пальцем по косточкам пальцев этой же ладони.

Там он перенял систему счисления и назвал её арабской, естественно, не углубляясь в суть вопроса. Слава богу, это не так: А так кое-что новое узнал, спасибо. Вот если бы вы добавили 2 предложения про то как Инки использовали кипу было бы еще интереснее.

Не хватает упоминания о системах счисления с иррациональным основанием. Я думаю, что фиббоначиеву систему нельзя отнести к смешанным в вашей классификации. У нее в каждой позиции либо 0, либо 1, т. В фибоначчиевой системе счисления основаниями являются числа Фибоначчи: Смешанная система — позиционная.

Согласно определению, каждый разряд позиционной системы умножается на её основание, возведенное в степень, равную номеру разряда. В системе фибоначчи — каждый разряд — это число с новым основанием, соответсвующим ряду фибоначчи.

Таким образом, каждый разряд числа a 1 a 2 a 3 F в фибоначчиевой системе счисления можно представить, как: Сэр, я в курсе принципов записи фибоначчиевой системы счисления. В фибоначчиевой системе счисления в любом разряде набор допустимых символов один и тот же.

Почему же она тогда смешанная? Ранее рассматривалась -я система, которая состоит из элементов двоичной системы, тем не менее, она смешанная.

Не обязательно использовать весь алфавит каждой системы счисления, которая применяется. При условии, когда мы видим схожесть — необходимо искать другие признаки, которые помогут сделать правильный вывод. В данном случае — это основания, которые при записи числа в фибоначчиевой системе, преимущественно, опускаются. Статейка доставила удовольствие… понастольгировать. В детстве, помню, меня очень увлекало разнообразие и красочность непозиционных систем.

Позиционная, с цифрами 0 и 1. Обладает тем свойством, что любое натуральное число имеет в ней конечную запись: Я смотрел по этой sysadm. Там есть формулы и таблички не плохие, может понадобиться. Метки лучше разделять запятой. Сейчас Вчера Неделя Анонимный трудоголик: Первая российская материнская плата массового сегмента 26,5k Интересные публикации Хабрахабр Geektimes.

Запуск Java классов и JAR-ов не по учебнику. Критическая уязвимость механизма аутентификации BIND позволяет похищать и изменять DNS-записи серверов. Во льдах Плавучего Континента: CSS и iOS Safari. Новый подход к кэшированию процессора GT. Линейное программирование в python силами библиотеки scipy. Стабильность нейтрона в атомном ядре GT. Разделы Публикации Хабы Компании Пользователи Песочница. Информация О сайте Правила Помощь Соглашение Конфиденциальность. Услуги Реклама Тарифы Контент Семинары.